Визуальное доказательство теоремы Пифагора


Теорема Пифагора, несомненно, одна из самых известных формул — классика математики средней школы и основа математического образования. Разумеется, вы знакомы с ней:

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Друими словами, существует уравнение вида:

a² + b² = c²,

в котором a и b  — катеты, а c  —  гипотенуза прямоугольного треугольника.

Имеется множество способов доказать эту теорему. Об одном из них я ранее уже писал (см. «Оригинальное доказательство теоремы Пифагора»).

Сейчас я покажу еще одно доказательство. Да-да, именно покажу, поскольку это доказательство визуальное. Разумеется некоторые математические формулы нам понадобятся, но они будут лишь комментировать иллюстрации.

Возьмем два квадрата, стороны которых равны катетам (a и b) и поместим их в больший квадрат со стороной, равной a+b.

Очевидно, что в нашем рисунке и b²  —  это квадраты катетов прямоугольного треугольника.

Разделим оставшуюся площадь большого квадрата на два прямоугольника.

Очевидно, что у верхнего прямоугольника одна из сторон равна a. Вторая сторона легко вычисляется — это b (a+b–a).

Аналогично у нижнего прямоугольника одна из сторон — это b, а вторая сторона равна a (a+b–b).

Как видим, наши прямоугольники равны — они имеют одинаковые стороны a и b. Площадь этих прямогуольников равна ab.

Таким образом, площадь большого квадрата (a + b)² равна сумме площадей четырех форм внутри него: a² + b² + ab + ab или эквивалентно:

Запомним это равенство, оно нам еще пригодится.

Теперь в каждом из наших одинаковых прямоугольниках проведем диагональ и назовем ее c.

Мы получили четыре прямоугольных треугольника с гипотенузой с и катетами a и b.

А теперь выполним небольшую манипуляцию. Удалим из большого квадрата малые квадраты и и повернем два внутренних треугольника так, чтобы они были были расположены вдоль краев большого квадрата.

Мы получили еще один квадрат со стороной с и площадью .

Но, поскольку площадь большого квадрата (со стороной a+b) осталась неизменной, а ранее мы из этого квадрата удалили малые квадраты и , то новый квадрат полностью занял их место. А, следовательно:

Теорема Пифагора доказана!

*  *  *

Для самых дотошных мы распишем это визуальное доказательство в уравнениях.

Как видно из последнего рисунка, площадь большого квадрата (a+b)² состоит из площади квадрата и площадей четырех прямоугольных треугольников со сторонами a и b. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов или 1/2(ab)

Имеем уравнение:

Или упрощая:

Теперь у нас есть две формулы для площади большого квадрата (a+b)². Это что означает, что существует равенство:

Сокращая обе части уравнения на 2ab, получаем:

Что и требовалось доказать! 



Комментарии 3


Чтобы читать и оставлять комментарии вам необходимо зарегистрироваться и авторизоваться на сайте.

Моя страницаНастройкиВыход
Отмена Подтверждаю
100%
Отмена Подтверждаю
Отмена Подтверждаю