Хитрая математика. Геометрическая иллюзия или дьявол - в деталях.


  https://file-up.net/big/f3/f381b75b1f48cd7d0b20170514091710.jpg  

   Иногда школьники подкидывают мне какие-нибудь математические головоломки. Случается это редко, поэтому каждая такая ситуация воспринимается мною как небольшой праздник (балбесам интересна математика!) и запоминается. Особенно, когда я не могу решить то, что они притащили.

   История с геометрической головоломкой случилась уже давно, но я её помню очень хорошо. Тем более, что, когда я докопался до истины, то хохотал над собой.

   Итак, на одной из перемен перед уроком киндеры подсунули мне тетрадный листок с геометрическим рисунком. 



   Говорят: "Смотрите - квадрат разрезали на части и сложили из них прямоугольник".

   "Ну, клёво", - отвечаю я им, не отрываясь от заполнения журнала.

   "Конечно, - соглашаются маленькие бармалеи. - А найдите-ка площадь квадрата".

   А что её искать? Восемь клеток сторона. Значит, умножаем восемь на восемь, получаем 64.

   "Шестьдесят четыре", - отвечаю я им, прикидывая, как исправить неверно записанную тему урока. 

   "А теперь площадь прямоугольника", - не унимаются они.

   Вот народ. Совсем поглупели, проверяют меня на знания простейших формул. Считаю клеточки, длина - тринадцать, ширина - пять. Перемножаем...

   "Шестьдесят пять. И не мешайте мне с вашим журналом работать".

   "А как так?! - почти кричат детки. - Ведь должно быть одинаково!"

   Я опять гляжу на рисунок... И откладываю скучный журнал в сторону. В самом деле, какая-то фигня получается. У квадрата площадь - 64, а у прямоугольника, составленного из тех же кусочков - 65.



   Тут начинается спасительный урок, в течение которого я периодически тупо смотрю на картинку с головоломкой, пытаясь понять в чём фишка. Фигуры, из которых состоят квадрат и прямоугольник - пара равных трапеций, и пара равных прямоугольных треугольников. Прикидываю сумму их площадей: 



   Трапеции: 5*(5+3)=40, треугольники: 3*8=24, сумма: 40+24=64. Всё верно, всё сходится... но только для квадрата. Звенит звонок.

   "Я не разгадал, - признаюсь ученикам. - Буду думать до завтра".

   Наверное, нет смысла говорить о том, что всё оставшееся время на работе, как только выпадали свободные минуты, я возвращался к этому проклятому рисунку.

   Ответ явно скрывался в прямоугольнике, т.к. не он был исходной фигурой, а значит именно его площадь отличалась от эталонной. Я внимательно рассматривал картинку. Почему его площадь оказывалась больше на 1 единицу? Ведь составлен из тех же самых фигур! Как 64 стало 65? Или не из равных?

   А что, если начертить его покрупнее? Беру новый листок, увеличиваю масштаб и - опаньки! А ведь треугольники, из которых составлен этот чёртов прямоугольник, не точно такие же как в квадрате! Меньшие катеты у них немножко больше. Совсем на чуть-чуть, но больше!



   И если на их места положить треугольники из квадрата, то их гипотенузы не будут образовывать диагональ прямоугольника, а появляется небольшая щёлочка, которая и даёт лишнюю единицу к площади. 



   Но видно это будет только при большом масштабе



   И если вернуть рисунок на прежние клеточки ученической тетради, то головоломка опять становится неразрешимой.

   Моей радости не было предела. Причём, от решённых ранее гораздо более сложных задач я не получал такого удовольствия как от этой, найденной неизвестно где одним из моих учеников. А для себя я сделал вывод - надо тщательнее относиться к мелочам.

   И помнить, что знания - сила!

 

Понравился пост - подпишись на мой блог


Comments 23


Был малым читал Гарднера, там много таких фишек, про фибоначчи разрезание тоже норм

05.07.2017 05:59
0

а я не читал (((

05.07.2017 06:06
0

По сути обычное мошенничество, в расчете на то что перепроверять никто не будет. Как и все во что нас заставляют верить без доказательств, просто повертев перед глазами красивой картинкой или "мудрым" текстом, как к примеру поступают и все религии.

05.07.2017 06:14
0

необычная трактовка ))) но мне кажется, что в данном случае нет хищения чужого имущества

05.07.2017 06:22
0

Есть хищение чужой веры в честность окружающих его людей.
Хотя этим человек постоянно грешит между делом и обычно не считает зазорным "обманывать" людей. Этим даже часто хвастаются и бравируют.

Мне странен этот взгляд общества на ложь, но в то же время, отчетливо понимая что Ложь это один из трех столпов на которых держится Мир, я принимаю такое положение вещей как неустранимую данность. И всем всегда говорю: "Не верьте никому!". Человеческий мир это мир профессиональных лжецов.
Вот такие философские выводы из рассказа о подтасовках с площадями геометрических фигур. )))

05.07.2017 06:31
0

а какие два оставшихся столпа?

05.07.2017 06:42
0

Страх и Любовь.


img source

05.07.2017 06:49
0

Верны ваши слова, @bambr. Много людей верят так скзать просто "на слово" ))

05.07.2017 08:19
0

Покуда есть на свете дураки,
Обманом жить нам, стало быть, с руки.
Какое небо голубое, мы не сторонники разбоя:
На дурака не нужен нож,-ему с три короба наврешь
И делай с ним, что хошь!

05.07.2017 08:22
0

Примерно так же выглядит задачка когда надо несколько точек соединить линиями.
От толщины точки зависит решение.

06.07.2017 23:39
0

Это доказывает что верить нельзя даже своим глазам, а может и прежде всего своим глазам.
Иногда говорят: "Я этого не видел, значит этого нет" или "Покажите мне и я поверю", а по на самом деле: "Я это видел, но не факт что это есть".
В религии очень часто, для поднятия авторитета самой религии, ссылаются на "видения" как на то что имело место быть, или на бред, как на то что являлось Голосом Бога.
Не верь никому, даже своим глазам.
Верить можно только алгоритмам и математическим формулам!
Слава математике! Слава математикам!


Слава Блокчейну! )))

07.07.2017 07:08
0

Всегда обожал подобные задачки, попытался решить сам, но не удержался и дочитал до конца. Признаюсь, я бы ее вряд ли смог сам решить.

05.07.2017 07:46
0

да, задачка весёлая )))

05.07.2017 09:46
0

Вы когда следующую найдете подобную, ответ не пишите, пусть голосята подумают и я приму участие в этом.

05.07.2017 09:51
0

ок!

05.07.2017 10:12
0

Еще со школьных времен я помню, что клеточки в тетрадях условно квадратные, а на деле высота и ширина могут немного отличаться. На мелких отрезках это не заметно, а на более длинных отчетливо видно.

05.07.2017 13:06
0

вот этого я совсем не знал, интересная тема ))) но в данном случае рисунок выполнялся не один раз на разных тетрадных страницах и с одинаковым результатом

05.07.2017 13:09
0

Надо было всего лишь взять линеечку и измерить длину и высоту фигур. А исходя из полученных данных считать площадь.

05.07.2017 13:31
0

а что это изменит? у квадрата площадь 16, у прямоугольника - 16.25. я не понял Вашу мысль

05.07.2017 13:40
0

Ну вот она ваша разница - 0,25 кв.см это и есть клеточка

05.07.2017 13:43
0

У квадрата - да, а у клетки - нет. Засчет этого получится либо наложение фигур, либо зазор между ними. Вот зазор вы и обнаружили при увеличении.
Как-то так.

05.07.2017 13:50
0