Статья № 67. Линейные уравнения с двумя неизвестными (переменными)


В этой статье покажем принцип составления и решения уравнений с двумя неизвестными (переменными) методом выбора коэффициента множителя у одного из неизвестных.

center/vk.cs://

<

<Вы читаете рекомендации по применению линейных уравнений с двумя переменными в программно-математическом обеспечении средств коммутационной связи, хранения информации и управления.

    По этой теме предусмотрено две статьи. В этой статье расскажем теорию составления «формулы уравнений». В следующей статье мы рассмотрим программно-математическое обеспечение «суммирующего мультиплексора» и «вычитающего дешифратора» и покажем их применение.

      Принцип построения решаемых линейных уравнений с двумя неизвестными методом выбора множительного коэффициента.

      Описание уравнения, в этой статье, будем проводить для чисел десятеричной системе счисления. Уравнение можно составить в любой системе счисления чисел.
      Уравнение выглядит так:

xK+y=A

    ,где
        x – переменное, целое, положительное, однопозиционное или многопозиционное число;
        y – допускаемое в уравнение переменное целое, положительное число. Оно заранее, как переменное, определяется на то количество чисел n, которые мы хотим, чтобы принимало (в себе отображало) У;
        К – выбираемый коэффициент К=n+1, где n число, показывающее полный набор числовых значений, который мы хотим, чтобы принимал y.
К – коэффициент, так же, может просто указывать к какой системе счисления принадлежит однопозиционное число y;
        А – сумма чисел xK и y представленная многопозиционным числом, той системы счисления, по правилам которой возможно производить сложение чисел, и производилось.

Правило решения

      Правильно составленное уравнение xK+y=A позволяет одновременное определение y и х, при известных A и К вычисляя х выражением (формулой):

х=(А-y)/К

путём поочерёдного подставления допустимых чисел y в формулу, с целью определения единственного целого числа х. Целому числу х будет, соответствует только одно из допустимых чисел. Допустимое количество подставляемых в формулу чисел y определяет коэффициент К. Вычисленное целое число х и соответствующее при вычислении число у, будут являться единственными корнями этого уравнения.
При различных числовых значениях коэффициента при составлении и решении уравнения появляется ложные корни уравнения. Под ложными корнями уравнения нужно понимать числа, которыми не определялась сумма А.
В принципе, должно быть, всё ясно и понятно.
      Приступим к примерам составления и решения уравнений.
    Пусть х=11, у=7. Подставляем их в уравнение xK+y=A, и вычисляем А, предварительно определив коэффициент К.
У нас максимально у=7 следовательно К=7+1=8.
А=11(умножить)8+7=95
Составленное нами уравнение с двумя неизвестными выглядит.

х8+у=95

  Решение начнём с проведения анализа уравнения. Смотрим на множитель при неизвестной это число 8. Следовательно, у может принимать (иметь) только одно из 8 числовых значений 0.1.2.3.4.5.6.7.
  Правила решения уравнения утверждает, что подставляя в формулу х=(А-y)/К, в нашем случае х=(95-y)/8, поочерёдно на место у числа 0;1;2;3;4;5;6;7, мы должны получить единственное целое число х которое позволит определить у. Проверяем.
Х(1)=(95-0)/8=11,875
Х(2)=(95-1)/8=11,75
Х(3)=(95-2)/8=11,625
Х(4)=(95-3)/8=11,5
Х(5)=(95-4)/8=11,375
Х(6)=(95-5)/8=11,25
Х(7)=(95-6)/8=11,125
(Х8)=(95-7)/8=11
Видим, при х(8) целое значения х=11 получается при у=7. Что соответствует составлению уравнения при х=11 и у=7.
      Возможно, уважаемый читатель, перед тем как ознакомится (вникнуть) с правилами вычисления уравнений, Вы подметили, что связь коэффициента К и переменной у явно указывает на выявление численного значения у без каких-либо вычислений, что ставит под сомнения само название уравнения с двумя неизвестными. И Вы совершенно правы, только для самого максимального значения у=К-1. При условии, что оно на самом деле таковым является. Для подтверждения рассмотрим ещё пример.
      Составим рассматриваемое уравнение, поменяв значение у. Пусть оно будет у=4, оставив прежними К=8, х=11. Определим А.
А=11(умножить)8+4=92
Линейное уравнение с двумя неизвестными будет выглядеть.

х*8+у=92

Решим его.
Х(1)=(92-0)/8=11,5
Х(2)=(92-1)/8=11,375
Х(3)=(92-2)/8=11,25
Х(4)=(92-3)/8=11,125
Х(5)=(92-4)/8=11
Х(6)=(92-5)/8=10,875
Х(7)=(92-6)/8=10,75
Х(8)=(92-7)/8=10,625
    Видим, Х(5)=11 число целое, вычисленное при подставления в расчётную формулу переменной у=4. Следовательно, корнями уравнения будут х=11 и у=4.
      Предлагаемое уравнение, не смотря на ограниченное численное значение допустимых переменных У, в применении имеет большое количество чисел, а именно произведению Х на У.
      Это количество можно увеличить составлением уравнения с более чем двумя переменными. Достигается это тем, что полученная сумма из сложенных двух переменных, одного уравнения, подставляется в другое уравнение с двумя переменными в виде одной переменной. Вновь полученное уравнение уже будут содержать три переменных. И так далее, можно составить уравнение с конкретным заранее выбираемом числом переменных.
  Уравнение с тремя и более переменными я называю «формулой уравнений» или системой из N уравнений, содержащие N+1 переменную. Для наглядности покажем.
Расшифровка буквенных обозначений в формуле уравнения будет ниже по тексту.
Формула уравнений из 3 переменных, которую можно представить в виде системы двух уравнений. Выглядит так.

(хК1+y1)К2+у2=А2

Её система 2 уравнений с 3 переменными Х, У1, У2 выглядит так.
хК1+y1=А1
А1К2+у2=А2
    Правильно составленная, по предлагаемой методике формула уравнений или системы уравнений, позволяет определять корни уравнений, при известных К1, К2, А2.
Формула уравнений из 4 переменных, которую можно представить в виде системы 3 уравнений. Выглядит так.

((хК1+y1)К2+у2)К3+у3=А3

Её система уравнений выглядит так.
хК1+y1=А1
А1
К2+у2=А2
А2*К3+у3=А3

Формула уравнений из 4 переменных Х, У1, У2, У3 и её система их 3 уравнений так же решается при известных А3, К1, К2, К3.
Не трудно заметить, что система N уравнений с двумя неизвестными позволяет определять 2N неизвестных.
    Расшифровка буквенных обозначений для двух описанных формул уравнений.
        x, у1, у2, у3 – переменные, целые, положительные числа;
        К1, К2, К3 – коэффициенты для определения допустимого количества вычисляемых чисел, у1, у2, у3 соответственно;
        А1, А2, А3 – сумма соответствующих уравнений. Причём все до последние суммы А3, в системе уравнений, могут трактоваться как неизвестные.
    Составим, в качестве примера, формулу уравнения, в которой можно будет менять допустимые числовые значение переменных и представлять их в виде одного числа (зашифрованной информации), например, любую дату рождения.
  Мы имеем три переменные величина. Обозначим их как Х – год, у1 – месяц, у2 – число месяца. Так как у нас не бывает нулевых лет, месяцев и дней, цифру ноль не будем использовать в наших переменных.
  Три вводных переменных в будущем уравнении означает составление, системы из двух уравнений. Составим их:
  Пусть первой переменной будет х. К ней не нужен коэффициент. Определяем коэффициенты К1 и К2, позволяющие вычислять переменные, у1, у2 соответственно.
  В году 12 месяцев. Закладываем максимальное число n=12 для у1. Следовательно коэффициент К1=n+1=12+1=13. Составляем уравнения для двух переменных у1 и х
хК1+y1=A1
В цифрах это будет выглядеть.
х13+y1=A1
  В месяце максимальное количество дней равно 31. Значит. Максимальное число n=31 будет для переменной у2. Коэффициент К2=n+1=31+1=32.
Составляем уравнение для у2. Для того, чтобы в конечной сумме содержалась информация переменных х и у1 множителем при К2 будет А1 из первого уравнения.
А1*K2+y2=A2

В числах это будет выглядеть
32*А1+у2=А2

Мы получили систему 2-х уравнений с 3-я переменными.
х13+y1=A1
32
А1+у2=А2

Подставив в уравнение 32А2+у2=А2 вместо А1 его слагаемые 13+y1). Получим формулу уравнений, предназначенную для представления любой даты, одним числом.

13+y1)32+у2=А2

       , где
  х – переменная ввода года;
  у1 – переменная ввода месяца;
  у2 – переменная ввода числа месяца.
    А2 – числовое значение, содержащую информацию о переменных.
Вы можете подставить в х, У1, У2 числовые значение своего дня рождения, и получить дату своего рождения в виде одного числа, которое по формуле уравнения с тремя неизвестными определяется по методике, описанной в этой статье.
В качестве примера, я ввёл в уравнение дату своего рождения. Вот, что получилось.

13+y1)32+у2=815007

  Составление и решения этого уравнения можно посмотреть здесь.
Там по предлагаемой методике просчитано:
    Сперва 32 раза, вот это выражение

А1=(х*13+y1)=(815007-у2)/32

чтобы определить целое число (х*13+y1)=А1 и У2.
    Потом 13 раз, вот это Х=(А1-у1)/13
чтобы определить целое число х и у1.

      Спасибо, что дочитали статью до конца. Думаю было интересно. Уверен, на 100% в дальнейшим широком применении формулы уравнений.
  Коэффициенты в формуле уравнений численно могут быть разные и одинаковые, они отражают в уравнениях математический смысл знаменателей, причём как переменных (разных) знаменателей, геометрической прогрессии, так и одинаковые. Это приводит к увеличению конечной суммы систем уравнений. Наглядно это можно посмотреть в специально написанной для этой статьи программе, в виде таблиц «ИКСЕЛЬ.XLSX». Там пример готового программно-математического обеспечения для «суммирующего мультиплексора» и «вычитающего дешифратора».
Чтобы посмотреть и поэкспериментировать с программой, написанной в таблицах «...XLSX», необходимо по ссылке скачать файл. Потом открыть его и разрешить редактировать.
В следующий статье будут предоставлены такие же программы для демонстрации применения "формулы уравнений"
      Принимаются отзывы, пожелания, критика.


Comments 0